{\centering \nonumsubsection{A \hspace{1em} 组}}

\begin{xiaotis}

\xiaoti{计算 $(5x^2 - 2x^3 + 6x^4 - 18) \div (2x^2 + 1)$，并把结果写成 “$f(x) = g(x) q(x) + r(x)$” 的形式。}

\xiaoti{一个多项式除法的除式是 $2x^2 + 3x - 5$，商式是 $3x - 5$，余式是 $-7$，求被除式。}

\xiaoti{用综合除法求商式及余数。其中哪些能够整除，哪些不能整除？}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.2}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$(a^3 - b^3) \div (a - b)$；} & \xiaoxiaoti{$(a^4 - b^4) \div (a - b)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$(x^6 - y^6) \div (x + y)$；} & \xiaoxiaoti{$(x^5 + y^5) \div (x + y)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$(m^5 - n^5) \div (m + n)$；} & \xiaoxiaoti{$(m^6 + n^6) \div (m - n)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$(u^6 + v^6) \div (u + v)$；} & \xiaoxiaoti{$(u^7 + v^7) \div (u - v)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{用综合除法求商式及余数：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$(2x^3 - 3x^2 + 8x - 12) \div (2x - 3)$；}

    \xiaoxiaoti{$(4a^3 + 2a^2b - 8ab^2 - 12b^3) \div (2a + 3b)$；}

    \xiaoxiaoti{$(3x^4 + 2x^2 - 5x) \div (3x - 1)$；}

    \xiaoxiaoti{$(3x^4 - 2x^3y + 3x^2y^2 -2xy^3 + 3y^4) \div (3x + 2y)$。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{设 $f(x) = x^n + a^n$（其中 $n \in N$），求 $f(x)$ 除以 $x - a$ 所得的余式，
        又求 $f(x)$ 除以 $x + a$ 所得的余式；}

    \xiaoxiaoti{设 $f(x) = x^n - a^n$（其中 $n \in N$），求 $f(x)$ 除以 $x - a$ 所得的余式，又求 $f(x)$ 除以 $x + a$ 所得的余式；}

    \xiaoxiaoti{通过第 (1)，(2) 小题，说出在什么情况下，$x^n + a^n$ 或 $x^n - a^n$（其中 $n \in N$）有因式 $x - a$ 或 $x + a$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求证 $x^3 - 4ax^2 - 10bx + 16$ 有因式 $x + 2$ 的充要条件是
    $$ a = \dfrac{1}{4}(2 + 5b) \text{。}$$
}


\xiaoti{把下列多项式分解因式：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$y^4 + 5y^3 + 22y^2 + 80y + 96$；}

    \xiaoxiaoti{$a^4 - 4a^3b - 7a^2b^2 + 22ab^3 + 24b^4$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{在复数集 $C$ 中解下列方程或方程组：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$x^3 + \dfrac{7}{2}x^2 - 1 = 0$；}

    \xiaoxiaoti{$4x^4 + 7x^3 - 22x^2 - 35x + 10 = 0$；}

    \xiaoxiaoti{$5x^4 - 29x^3 + 14x^2 - 116x - 24 = 0$；}

    \xiaoxiaoti{$x^4 - x^3 + \dfrac{1}{4}x^2 - 4x - 15 = 0$；}

    \xiaoxiaoti{$\begin{cases}
        x^3 + y^3 = 19, \\
        y = 2x + 7;
    \end{cases}$}

    \xiaoxiaoti{$\begin{cases}
        x^2 + y^2 = 52, \\
        y = x^2 - 11x + 34 \text{。}
    \end{cases}$}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{已知方程 $x^4 - x^3 + mx^2 + nx - 6 = 0$ 在复数集 $C$ 中有两个根
        的和为 $3$，积为 $2$，求 $m,\, n$ 的值，并且求方程在 $C$ 中的解集；}

    \xiaoxiaoti{已知方程 $x^3 + 3x^2 + mx + n = 0$ 的三个根成等差数列，
        方程 $x^3 - (m - 2)x^2 + (n - 3)x - 8 = 0$ 的三个根成等比数列，求 $m,\, n$ 的值。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{设方程 $2x^3 - 4x^2 + x - 6 = 0$ 在复数集 $C$ 中的根是 $x_1,\, x_2,\, x_3$，
    求在 $C$ 中的根是 $x_1 + 1$，$x_2 + 1$，$x_3 + 1$ 的一元三次方程。
}

\xiaoti{已知方程 $f(x) = 2x^4 - 3x^3 + ax^2 + bx + c =0$ 在复数集 $C$ 中有 $3$ 重根 $-1$，
    另一个根是 $x_4$，求 $a,\, b,\, c,\, x_4$ 的值。
}

\xiaoti{求方程 $x^3 + i\,x^2 - 4x - 4\,i = 0$ 在复数集 $C$ 中的解集。}

\xiaoti{已知方程 $x^3 + 2x^2 - 3x + 2 - 4\,i = 0$ 的根中有一个是 $-i$，
    求这个方程在复数集 $C$ 中的解集。
}

\xiaoti{已经方程 $x^3 - 9x^2 + 33x - 65 = 0$ 的根中有一个虚根的模等于 $\sqrt{13}$，
    求这个方程在复数集 $C$ 中的解集。
}

\xiaoti{一个长方体的长是宽的 $2$ 倍，高比宽少 $2$ 厘米，它的体积是 $490 \text{厘米}^3$，
    求它的长、宽、高。
}

\xiaoti{某厂一种轻工产品第一年的产值为 $200$ 万元，以后三年逐年按同样的百分数递增，
    四年的总产值为 $928.2$ 万元。求产值每年比上一年增加的百分数。
}

\end{xiaotis}

